Решение систем линейных уравнений методом жордана - гаусса

Пример 1.     Решить методом Жордана-Гаусса систему линейных уравнений:

            а)  Х1 + Х2 + 2Х3

= -1

               2Х1 -  Х2 + 2Х3

= -4

               4Х1 + Х2 + 4Х3

= -2

Решение:

 Составим расширенную матрицу

1 Итерация.

В качестве направляющего элемента выбираем элемент

. Преобразуем первый столбец в единичный. Для этого к второй и третьей строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на -2  и -4. Получим матрицу:

На этом первая итерация закончена.

2 Итерация.

Выбираем направляющий элемент

. Так как , то делим вторую строку на -3. Затем умножаем вторую строку на 1 и 3 и складываем соответственно с первой и третьей строками. Получим матрицу:

3 Итерация.

Выбираем направляющий элемент

. Так как , то делим третью строку на -2. Преобразуем третий столбец в единичный. Для этого умножаем третью строку на -4/3 и -2/3 и складываем соответственно с первой и второй строками. Получим матрицу:

откуда Х1 = 1,  Х2 = 2,  Х3

= -2.

 

Пример 2.  Решить методом Жордана - Гаусса систему линейных уравнений:

              Х1 + 2Х2 + 2Х3

+22Х4 –4Х5= 11

              Х1 +2Х2 + Х3

+16Х4–4Х5= 9

              Х1 + Х2 + Х3

+12Х4 -2Х5= 6

Решение:

Составим расширенную матрицу

1 Итерация.

В качестве направляющего элемента выбираем элемент

. Преобразуем первый столбец в единичный. Для этого ко второй и третьей строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на -1. Получим матрицу:

На этом первая итерация закончена.

2 Итерация.

Выбираем направляющий элемент

. Умножаем  третью строку на -1. Преобразуем второй столбец в единичный. Для этого к первой строке прибавляем третью строку, соответственно умноженную на -2.

Получим матрицу:

3 Итерация.

Выбираем направляющий элемент

. Так как , то умножаем вторую строку на –1. Преобразуем третий столбец в единичный. Для этого вторую строку складываем  с третьей строкой. Получим матрицу:

		Х1		Х2		Х3		Х4		Х5
		1		2		2		22		-4		1		0		0		11
		1		2		1		16		-4		0		1		0		9
		1		1		1		12		-2		0		0		1		6
		1		2		2		22		-4		1		0		0		11
1		0		0		-1		-6		0		-1		1		0		-2
		0		-1		-1		-10		2		-1		0		1		-5
		1		0		0		2		0		-1		0		2		1
2		0		0		-1		-6		0		-1		1		0		-2
		0		1		1		10		-2		1		0		-1		5
		1		0		0		2		0		-1		0		2		1
3		0		0		1		6		0		1		-1		0		2
		0		1		0		4		-2		0		1		-1		3
		1		0		0		2		0		-1		0		2		1
		0		1		0		4		-2		0		1		-1		3
		0		0		1		6		0		1		-1		0		2

<
Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:
                Х1 + 2Х4 = 1
                Х2 +4Х4 -2Х5= 3
                Х3 +6Х4= 2
Система уравнений имеет бесконечное множество решений.
             Общее решение имеет вид:
             Х1 =  1-2Х4
                    Х2 = 3-4Х4 +2Х5
             Х3 = 2-6Х4.
      переменные Х1, Х2, Х3
являются основными
(или базисными). Любое частное решение получается из общего путем придания конкретных значений свободным переменным. Если свободные переменные Х4 и Х5 положить равными нулю, то получим первое базисное решение Х1 =  1,      Х2 = 3,   Х3 = 2, Х4 = 0,   Х5=0.
Первое базисное решение имеет вид: (1,3,2,0,0).
Общее число групп основных переменных, т.е. базисных решений не более, чем ==.
Если все компоненты базисного решения неотрицательны, то такое решение называется опорным.

Содержание раздела

---